Hur fungerar nollställen
•
Andragradsekvationer
I ett tidigare avsnitt gick vi igenom polynom och kom fram till att ett polynoms gradtal bestäms av den variabelterm som har störst exponent. Har ett polynom gradtalet 2, så kallar vi det ett andragradspolynom.
En ekvation vars ena led utgörs av ett andragradspolynom och vars andra led är lika med noll kallar vi en andragradsekvation. Det här är en mycket viktig typ av ekvation som förekommer i många olika sammanhang och därför ska vi ägna det här och efterföljande avsnitt åt att närmare undersöka just andragradsekvationer.
Andragradspolynom
Vi kan allmänt skriva ett polynom av andra graden på följande form:
$$ax^{2}+bx+c$$
där a, b och c är konstanter, och a ≠ 0 (om a = 0, så hade ju x²-termen blivit lika med noll och då hade inte polynomet varit av grad 2 längre, alltså inget andragradspolynom; däremot får b och/eller c vara lika med noll).
Ett exempel på ett andragradspolynom är
$$x^{2}+3x+1$$
där x² är den variabelterm som har störst exponent o
•
Om vi känner till funktionens nollställen samt ytterligare en punkt på grafen, kan vi ta fram funktionens formel.
I faktorform se polynomfunktionens formel ut på följande vis.
Polynomfunktion i faktorform
$f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot…\cdot\left(x-x_n\right)$()=(−1)·(−2)·…·(−)
där $x_1$1,$x_2$2 och $x_n$ är nollställenas $x$ -värden. Konstanten $k$ motsvarar koefficienten för termen med högst grad.
Detta ger att alla andragradsfunktioner $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$()=2++, med nollställena $x_1$1 och $x_2$2 i faktorform kan skrivas som
$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$()=(−1)·(−2)
där $a$ motsvarar andragradstermens koefficient. Att vi vänjer att skriva $a$ istället för $k$ här är för att lättare associera det till koefficienten framför andragradstermen.
Funktionens nollställen motsvarar $x$ -värdet där grafen skär $x$ -axeln. Alla nollställen har gemensamt, att deras $y
•
Nollproduktmetoden
I det föregående avsnittet gick vi igenom hur man kan lösa enkla andragradsekvationer.
I det här avsnittet ska vi ta oss en titt på ett specialfall vad gäller hur andragradsekvationer kan se ut och i samband med detta introducera nollproduktmetoden, en metod som är särskilt väl lämpad för lösning av just detta specialfall.
Vi har tidigare sett att en andragradsekvation kan skrivas på den allmänna formeln
$$ax^{2}+bx+c=0$$
där a, b och c är konstanter, och a ≠ 0.
I fallet då b = 0 såg vi i avsnittet om enkla andragradsekvationer hur vi kunde lösa denna typ av andragradsekvation.
Vi ska nu titta på fallet då c = 0 och b ≠ 0, det vill säga då andragradsekvationen kan skrivas
$$ax^{2}+bx=0$$
I detta fall består ekvationens vänsterled av två stycken variabeltermer, en variabelterm av andra graden (ax²) och en variabelterm av första graden (bx). De båda termerna har alltså x som gemensam faktor.
Det enklaste sättet att lösa andragradsekvationer av just denna t